APLIKASI
DEFERENSIAL DAN INTEGRAL
DALAM ILMU EKONOMI
A. Biaya dan Pendapatan Marjinal
1.
Biaya Total dan Biaya Marjinal
Fungsi
biaya marjinal merupakan turunan fungsi biaya total.
Jika
diketahui fungsi biaya total (total cost:
TC) terhadap banyaknya barang adalah:
C
= TC = f(Q)
Maka fungsi biaya marjinal
(marginal cost: MC) ditentukan
sebagai:
MC = = (Q) atau MC = =
Sebaliknya jika diketahui
fungsi biaya marjinal, maka dengan cara integral dapat ditentukan biaya
totalnya adalah:
C
= MC dQ
2. Fungsi
Biaya Rata-Rata (Average Cost)
Fungsi biaya rata-rata adalah fungsi yang
deperoleh dengan cara membagi fungsi biaya total dengan jumlah barang yang
diproduksi.
AC
=
Contoh 1
Tentukan (a) fungsi marjinal, (b)
rata-rata dari masing-masing fungsi total berikut ini. Hitunglah masing-masing
fungsi tersebut jika diketahui Q = 3 dan Q = 5
1)
TC = 3Q2
+ 7Q + 12
2)
TC =
35 + 5Q – 2Q2 + 2Q3
Penyelesaian :
1) TC = 3Q2 + 7Q + 12
(a)
MC = = 6Q + 7
Pada Q = 3, MC = 6.3 + 7 = 25
Q = 5, MC = 6.5 + 7 = 37
(b)
AC = = 3Q + 7 +
Pada Q = 3, AC = 3.3 + 7 + = 20
Q = 5, AC = 3.5 + 7 + = 24, 4
2) TC = 35 + 5Q – 2Q2 + 2Q3
(a)
MC = = 5 - 4Q + 6Q2
Pada Q = 3, MC = 5 – 4.3 + 6.32 = 47
Q = 5, MC = 5 - 4.5 + 6.52 = 135
(b)
AC = = + 5 – 2Q + 2Q2
Pada Q = 3, AC = + 5 – 2.3 + 2.32 = 28,7
Q = 5, AC = + 5 – 2.5 + 2.52 = 52
Contoh 2
Biaya marjinal suatu barang ditunjukkan oleh
persamaan MC = 3Q2 – 6Q + 4 dengan biaya tetap 5.
Tentukan:
a. Persamaan fungsi biaya total
b. Persamaan fungsi biaya rata-rata
c. Persamaan fungsi variabel cost (VC)
Penyelesaian:
a. C
= MC dQ
=
(3Q2 – 6Q + 4) dQ
= Q3 – 3Q2 + 4Q + c
Karena
biaya tetapnya adalah 5,
maka
fungsi biaya totalnya adalah C = Q3 – 3Q2 + 4Q + 5
b. AC =
=
= Q2 – 3Q + 4 +
Jadi persamaan fungsi biaya rata-ratanya adalah AC = Q2 – 3Q + 4 +
c.
VC =
TC – FC = Q3 – 3Q2 + 4Q
3. Fungsi Pendapatan
Fungsi pendapatan marjinal (marginal revenue : MR) merupakan turunan
dari fungsi pendapatan total, sehingga jika diketahui fungsi pendapatan total (total revenue: TR) terhadap banyaknya
barang:
R
= TR = f(Q)
Maka fungsi pendapatan marjinal (marginal revenue: MR) dapat ditentukan
sebagai:
MR
= = (Q) atau MR = =
Sebaliknya jika diketahui fungsi
pendapatan marjinal, maka dengan cara integral dapat ditentukan fungsi
pendapatan total:
R
= MR dQ
Fungsi pendapatan rata-rata (average revenue) merupakan hasil bagi
pendapatan total dengan jumlah barang yang dihasilkan.
AR =
Contoh 3
Diketahui fungsi permintaan P = 30 – 2Q, tentukan
:
a.
Penerimaan
total (total reveneu: TR)
b.
Fungsi
marjinal (marginal reveneu: MR)
c.
Biaya
marginal untuk Q = 4
Penyelesaian :
a.
TR =
PQ = (30 – 2Q)Q = 30Q – 2Q2
b.
MR = = 30 – 4Q
c.
Untuk
Q = 4, MR = 30 – 4.4 = 14
Contoh 4
Jika diketahui pendapatan marjinal suatu
perusahaan ditentukan oleh persamaan MR = 16 – 4Q, tentukan:
a. Fungsi pendapatan total.
b. Fungsi pendapatan rata-rata.
Penyelesaian:
a. R =
MR dQ
=
(16 – 4Q) dQ
= 16Q – 2Q2 + c
Dalam perusahaan, jika tidak ada barang
yang diproduksi(dijual) maka tidak ada pendapatan, atau jika Q = 0 maka R = 0
sehingga c = 0.
Jadi persamaan pendapatan totalnya adalah R
= 16Q – 2Q2.
b. AR =
=
= 16 – 2Q
Jadi
persamaan fungsi pendapatan rata-ratanya adalah
AR = 16 – 2Q.
Latihan 1
1. Tentukan fungsi marjinalnya dan nilai
fungsi jika Q = 3, jika diketahui biaya total adalah :
a. TC = Q2 – 13Q + 78
b. TC = Q2 + 7Q + 23
2. Tentukan pendapatan marjinalnya dan nilai
fungsi jika Q = 5, jika diketahui penerimaan total adalah :
a. TR = 75Q – 4Q2
b. TR = 12Q – Q2
3. Tentukan persamaan fungsi biaya total dan
biaya rata-rata suatu perusahaan jika biaya marjinalnya MC = 1,5Q2 +
10Q – 2 dengan biaya tetap sebesar 20.
4. Jika diketahui fungsi biaya marjinal suatu
perusahaan MC = 3Q2 – 8Q + 5 dengan biaya tetap 52. Tentukan:
a. Persamaan
fungsi biaya total.
b. Persamaan
fungsi biaya rata-rata.
5. Biaya marjinal suatu perusahaan ditentukan
oleh persamaan MC = 3Q2 + 1 dengan biaya tetap 8. Tentukan biaya
total dan biaya rata-ratanya.
6. Diketahui pendapatan marjinal suatu
perusahaan adalah MR = 980 – 28Q. Tentukan persamaan fungsi pendapatan total
dan fungsi pendapatan rata-rata perusahaan tersebut.
7. Tentukan persamaan fungsi pendapatan total
dan fungsi pendapatan rata-rata suatu perusahaan jika diketahui fungsi
pendapatan marjinalnya adalah MR = 1 – 2Q.
8. Diketahui pendapatan marjinal suatu
perusahaan adalah MR = . Tentukan pendapatan total dan pendapatan
rata-ratanya.
B. Surplus
Konsumen
Surplus konsumen (consumers
surplus) merupakan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh
konsumen tertentu berkaitan dengan tingkat harga suatu barang.
Fungsi P = f(Q) menyatakan jumlah suatu barang yang akan
dibeli oleh konsumen pada tingkat harga tertentu. Apabila tingkat harga pasar
dilambangkan dengan Pe, maka bagi konsumen yang sebetulnya mampu membeli dengan
harga lebih tinggi dari Pe, hal ini merupakan keuntungan baginya. Keuntungan
lebih itu diistilahkan dengan surplus konsumen.
Secara
geometris, besar surplus konsumen ditunjukkan oleh luas daerah di bawah kurva
permintaan tetapi di atas harga pasar Pe.
Daerah yang diarsir menunjukkan
daerah surplus konsumen (CS), yaitu luas daerah yang dibatasi oleh kurva P =
f(Q), garis P = Pe, dan garis Q = 0.
Dengan proses
integrasi diperoleh:
Cs = (f(Q) – Pe) dQ
Contoh 3
Fungsi
permintaan akan suatu barang dirumuskan sebagai P = 20 – 0,5Q. Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga
pasar Pe = 10.
Penyelesaian:
Fungsi permintaan P = 20 – 0,5Q
Pada tingkat harga pasar Pe = 10,
10 = 20 – 0,5Q
0,5Q = 10
Q = 20
Cs = (f(Q) – Pe) dQ
= ((20 – 0,5Q) – 10) dQ
= (10 – 0,5Q) dQ
= 10Q – Q2
= (10(20) – (20)2)
– (10(0) – (0)2)
= (200 – 100) – (0 – 0)
= 100
Jadi surplus konsumen Cs = 100.
C. Surplus
Produsen
Fungsi
penawaran P = f(Q) menunjukkan jumlah barang yang akan dijual pada tingkat
harga tertentu. Apabila tingkat harga pasar adalah Pe, maka sebenarnya produsen
bersedia menjual dengan harga kurang dari Pe, berarti ada keuntungan yang
dinikmati oleh produsen. Keuntungan semacam ini disebut dengan surplus produsen
(production surplus).
Secara
geometris surplus produsen ditunjukkan oleh luas daerah di atas kurva penawaran
tetapi di bawah harga pasar Pe.
Daerah
yang diarsir menunjukkan daerah surplus produsen(Ps), yaitu daerah yang
dibatasi oleh kurva penawaran P = f(Q), garis P = Pe, dan garis Q = 0.
Secara integral dapat ditunjukkan oleh:
Ps
= (Pe – f(Q)) dQ
Contoh 4
Diketahui suatu fungsi penawaran P = 0,5Q
+ 3.
Hitunglah surplus produsen jika tingkat
harga pasar Pe = 10.
Jawab:
Fungsi penawaran P = 0,5Q + 3
Pada tingkat harga pasar Pe = 10,
P
= 0,5Q + 3 10 = 0,5Q + 3 0,5Q = 7 Q = 14
Ps = (Pe – f(Q)) dQ
= (10 – (0,5Q + 3)) dQ
= (7 – 0,5Q) dQ
= 7Q – Q2
= (7(14) – (14)2) – (7(0) – (0)2)
= (98 – 49) – (0 – 0)
= 49
Jadi
surplus produsen Ps = 49.
Latihan 2
1. Diketahui fungsi permintaan y + 2x
= 120, dimana x mewakili jumlah barang (Q) dan y (P) mewakili harga. Jika
tingkat harga pasar 50, tentukan :
a. Gambar dan arsirlah daerah yang mewakili
daerah surplus konsumen.
b. Htunglah surplus konsumennya.
2. Diketahui fungsi penawaran suatu
barang x – 3y + 45 = 0, dimana x dan y berturut-turut mewakili jumlah dan harga
barang. Jika tingkat harga pasar 25,
tentukan :
a. Gambar dan arsirlah daerah yang mewakili
daerah surplus produsen.
b. Hitunglah surplus produsennya.
3. Diketahui fungsi permintaan P=100
– 0,25Q2. Jika
tingkat harga pasar 36, tentukan:
a. Gambar dan arsirlah daerah yang mewakili
daerah surplus konsumen.
b. Hitunglah surplus konsumennya.
4. Diketahui fungsi penawaran P = 2Q2
+ 1. Jika tingkat harga pasar 33, tentukan :
a. Gambar dan arsirlah daerah yang mewakili
daerah surplus produsen.
b. Hitunglah surplus produsennya.
5. Dalam suatu pasar, harga (y) dan
jumlah barang (x) yang diperdagangkan ditentukan oleh fungsi permintaan y = 9 –
x2 dan fungsi penawaran y = x + 7.
a. Gambarlah kedua fungsi permintaan dan
penawaran dalam sistem koordinat yang sama.
b. Tentukan titik keseimbangan pasar (E).
c. Hitung surplus konsumen dan surplus
produsen.
6. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran
berturut-turut P = 39 – 3Q2 dan P = 9Q + 9.
a. Gambarlah kedua fungsi permintaan dan
penawaran dalam sistem koordinat yang sama.
b. Tentukan titik keseimbangan pasar (E).
c. Hitung surplus konsumen dan surplus
produsen.
2 komentar:
Itu jawaban yg no3 gimana
The new Betway casino app for iOS & Android - DRMCD
We 남원 출장샵 will update this article with information from the Betway mobile site in advance. Be the first to review. Casino App. Casino App. Betway 화성 출장마사지 Mobile 공주 출장안마 App. 여수 출장안마 Betway 김제 출장안마 App. Betway Casino App. Deposit Options.
Posting Komentar