MATEMATIKA EKONOMI

APLIKASI  DEFERENSIAL DAN INTEGRAL

DALAM ILMU EKONOMI

A.       Biaya dan Pendapatan Marjinal

     

1.    Biaya Total dan Biaya Marjinal

          

            Fungsi biaya marjinal merupakan turunan fungsi biaya total.

            Jika diketahui fungsi biaya total (total cost: TC) terhadap banyaknya barang adalah:

                               

                                C = TC = f(Q)

            Maka fungsi biaya marjinal (marginal cost: MC) ditentukan sebagai:

                               MC =  = (Q)  atau MC =  =

Sebaliknya jika diketahui fungsi biaya marjinal, maka dengan cara integral dapat ditentukan biaya totalnya adalah:

                     C = MC dQ

2.  Fungsi Biaya Rata-Rata (Average Cost)

Fungsi biaya rata-rata adalah fungsi yang deperoleh dengan cara membagi fungsi biaya total dengan jumlah barang yang diproduksi.

                     AC =

Contoh 1

Tentukan (a) fungsi marjinal, (b) rata-rata dari masing-masing fungsi total berikut ini. Hitunglah masing-masing fungsi tersebut jika diketahui Q = 3 dan Q = 5

1)      TC = 3Q² + 7Q + 12

2)      TC = 35 + 5Q – 2Q² + 2Q³

Penyelesaian :

1)      TC = 3Q² + 7Q + 12

(a)    MC =  = 6Q + 7

Pada Q = 3, MC = 6.3 + 7 = 25

         Q = 5, MC = 6.5 + 7 = 37

(b)   AC = = 3Q + 7 +         

Pada Q = 3,  AC = 3.3 + 7 + = 20

         Q = 5,  AC = 3.5 + 7 +  = 24, 4         

2)      TC = 35 + 5Q – 2Q² + 2Q³

(a)    MC =  = 5 - 4Q + 6Q²

Pada Q = 3, MC = 5 – 4.3 + 6.3² = 47

         Q = 5, MC = 5  - 4.5 + 6.5² = 135

(b)   AC = =  + 5 – 2Q + 2Q²         

Pada Q = 3,  AC = + 5 – 2.3 + 2.3² = 28,7

         Q = 5,  AC = + 5 – 2.5 + 2.5² = 52   

       

Contoh 2

Biaya marjinal suatu barang ditunjukkan oleh persamaan MC = 3Q² – 6Q + 4 dengan biaya tetap 5.

Tentukan:

a.       Persamaan fungsi biaya total

b.      Persamaan fungsi biaya rata-rata

c.       Persamaan fungsi variabel cost (VC)

   

Penyelesaian:

a.   C     = MC dQ

              = (3Q² – 6Q + 4) dQ

              =  Q³ – 3Q² + 4Q + c

      Karena biaya tetapnya adalah 5,

      maka fungsi biaya totalnya adalah C = Q³ – 3Q² + 4Q + 5

 

b.  AC =

              =            

              =  Q² – 3Q + 4 +

      Jadi persamaan fungsi biaya rata-ratanya adalah AC =  Q² – 3Q + 4 +

c.       VC = TC – FC = Q³ – 3Q² + 4Q

      3.   Fungsi Pendapatan

Fungsi pendapatan marjinal (marginal revenue : MR) merupakan turunan dari fungsi pendapatan total, sehingga jika diketahui fungsi pendapatan total (total revenue: TR) terhadap banyaknya barang:

                        R = TR = f(Q)

Maka fungsi pendapatan marjinal (marginal revenue: MR) dapat ditentukan sebagai:

                        MR =  = (Q)  atau MR =  =

Sebaliknya jika diketahui fungsi pendapatan marjinal, maka dengan cara integral dapat ditentukan fungsi pendapatan total:

                        R = MR dQ

Fungsi pendapatan rata-rata (average revenue) merupakan hasil bagi pendapatan total dengan jumlah barang yang dihasilkan.

                        AR =

Contoh 3

Diketahui fungsi permintaan P = 30 – 2Q, tentukan :

a.    Penerimaan total (total reveneu: TR)

b.    Fungsi marjinal (marginal reveneu: MR)

c.    Biaya marginal untuk Q = 4

Penyelesaian :

a.    TR = PQ = (30 – 2Q)Q = 30Q – 2Q²

b.    MR = = 30 – 4Q

c.    Untuk Q = 4, MR = 30 – 4.4 = 14

Contoh 4

Jika diketahui pendapatan marjinal suatu perusahaan ditentukan oleh persamaan MR = 16 – 4Q, tentukan:

a.       Fungsi pendapatan total.

b.      Fungsi pendapatan rata-rata.

            Penyelesaian:

a.    R     = MR dQ

            = (16 – 4Q) dQ

            =  16Q – 2Q² + c

Dalam perusahaan, jika tidak ada barang yang diproduksi(dijual) maka tidak ada pendapatan, atau jika Q = 0 maka R = 0 sehingga c = 0.

Jadi persamaan pendapatan totalnya adalah  R  =  16Q – 2Q².

b.   AR =

            = 

            =   16 – 2Q

     Jadi persamaan fungsi pendapatan rata-ratanya adalah  AR = 16 – 2Q.

Latihan 1

1.    Tentukan fungsi marjinalnya dan nilai fungsi jika Q = 3, jika diketahui biaya total adalah :

a.    TC = Q² – 13Q + 78

b.    TC = Q² + 7Q + 23

2.    Tentukan pendapatan marjinalnya dan nilai fungsi jika Q = 5, jika diketahui penerimaan total  adalah :

a.    TR = 75Q – 4Q²

b.    TR = 12Q – Q²

  

3.    Tentukan persamaan fungsi biaya total dan biaya rata-rata suatu perusahaan jika biaya marjinalnya MC = 1,5Q² + 10Q – 2 dengan biaya tetap sebesar 20.

4.    Jika diketahui fungsi biaya marjinal suatu perusahaan MC = 3Q² – 8Q + 5 dengan biaya tetap 52. Tentukan:

a.  Persamaan fungsi biaya total.

b.  Persamaan fungsi biaya rata-rata.

5.    Biaya marjinal suatu perusahaan ditentukan oleh persamaan MC = 3Q² + 1 dengan biaya tetap 8. Tentukan biaya total dan biaya rata-ratanya.

6.    Diketahui pendapatan marjinal suatu perusahaan adalah MR = 980 – 28Q. Tentukan persamaan fungsi pendapatan total dan fungsi pendapatan rata-rata perusahaan tersebut.

7.    Tentukan persamaan fungsi pendapatan total dan fungsi pendapatan rata-rata suatu perusahaan jika diketahui fungsi pendapatan marjinalnya adalah MR = 1 – 2Q.

8.    Diketahui pendapatan marjinal suatu perusahaan adalah MR = . Tentukan pendapatan total dan pendapatan rata-ratanya.

B.   Surplus Konsumen

            Surplus konsumen (consumers surplus) merupakan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkaitan dengan tingkat harga suatu barang.

            Fungsi P = f(Q) menyatakan jumlah suatu barang yang akan dibeli oleh konsumen pada tingkat harga tertentu. Apabila tingkat harga pasar dilambangkan dengan Pe, maka bagi konsumen yang sebetulnya mampu membeli dengan harga lebih tinggi dari Pe, hal ini merupakan keuntungan baginya. Keuntungan lebih itu diistilahkan dengan surplus konsumen.

            Secara geometris, besar surplus konsumen ditunjukkan oleh luas daerah di bawah kurva permintaan tetapi di atas harga pasar Pe.

 

                  

                   

                               

                           

                                         

                                                                                            

Daerah yang diarsir menunjukkan daerah surplus konsumen (CS), yaitu luas daerah yang dibatasi oleh kurva P = f(Q), garis P = Pe, dan garis Q = 0.

Dengan proses integrasi diperoleh:

                          Cs = (f(Q) – Pe) dQ

Contoh 3

Fungsi permintaan akan suatu barang dirumuskan sebagai P = 20 – 0,5Q. Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar Pe = 10.

Penyelesaian:

Fungsi permintaan P = 20 – 0,5Q

Pada tingkat harga pasar Pe = 10,

                  10     = 20 – 0,5Q

                  0,5Q = 10

                  Q      = 20

                  

                

                                          

                          

                                                            

                                                                                                                           

                                                                                        

Cs = (f(Q) – Pe) dQ

    = ((20 – 0,5Q) – 10) dQ

     = (10 – 0,5Q) dQ

     =  10Q – Q²

    

     =  (10(20) –  (20)²) – (10(0) – (0)²)

      =  (200 – 100) – (0 – 0)

      =  100

Jadi surplus konsumen Cs = 100.

C.   Surplus Produsen

     Fungsi penawaran P = f(Q) menunjukkan jumlah barang yang akan dijual pada tingkat harga tertentu. Apabila tingkat harga pasar adalah Pe, maka sebenarnya produsen bersedia menjual dengan harga kurang dari Pe, berarti ada keuntungan yang dinikmati oleh produsen. Keuntungan semacam ini disebut dengan surplus produsen (production surplus).

     Secara geometris surplus produsen ditunjukkan oleh luas daerah di atas kurva penawaran tetapi di bawah harga pasar Pe.

 

                                                                      

                                                           

                             

                                                                                       

                                                       

Daerah yang diarsir menunjukkan daerah surplus produsen(Ps), yaitu daerah yang dibatasi oleh kurva penawaran P = f(Q), garis P = Pe, dan garis Q = 0.

Secara integral dapat ditunjukkan oleh:

                  Ps = (Pe – f(Q)) dQ

Contoh 4

Diketahui suatu fungsi penawaran P = 0,5Q + 3.

Hitunglah surplus produsen jika tingkat harga pasar Pe = 10.

Jawab:

Fungsi penawaran P = 0,5Q + 3

Pada tingkat harga pasar Pe = 10,

P   = 0,5Q + 3  10 = 0,5Q + 3  0,5Q = 7  Q  = 14     

 

            

                                                                                             

                                                                                         

                                                                                         

                                                           

                                                                             

                                                                                                                 

                                                                             

     Ps = (Pe – f(Q)) dQ

            = (10 – (0,5Q + 3)) dQ

            = (7 – 0,5Q) dQ

            =  7Q – Q²

            =  (7(14) – (14)²) – (7(0) – (0)²)

            =  (98 – 49) – (0 – 0)

            =  49

     Jadi surplus produsen Ps = 49.

Latihan 2

1.  Diketahui fungsi permintaan y + 2x = 120, dimana x mewakili jumlah barang (Q) dan y (P) mewakili harga. Jika tingkat harga pasar 50, tentukan :

a.    Gambar dan arsirlah daerah yang mewakili daerah surplus konsumen.

b.    Htunglah surplus konsumennya.

2.  Diketahui fungsi penawaran suatu barang x – 3y + 45 = 0, dimana x dan y berturut-turut mewakili jumlah dan harga barang.  Jika tingkat harga pasar 25, tentukan :

a.    Gambar dan arsirlah daerah yang mewakili daerah surplus produsen.

b.    Hitunglah surplus produsennya.

3.  Diketahui fungsi permintaan P=100 – 0,25Q². Jika tingkat harga pasar 36, tentukan:

a.    Gambar dan arsirlah daerah yang mewakili daerah surplus konsumen.

b.    Hitunglah surplus konsumennya.

4.  Diketahui fungsi penawaran P = 2Q² + 1. Jika tingkat harga pasar 33, tentukan :

a.    Gambar dan arsirlah daerah yang mewakili daerah surplus produsen.

b.    Hitunglah surplus produsennya.

5.  Dalam suatu pasar, harga (y) dan jumlah barang (x) yang diperdagangkan ditentukan oleh fungsi permintaan y = 9 – x² dan fungsi penawaran y = x + 7.

a.    Gambarlah kedua fungsi permintaan dan penawaran dalam sistem koordinat yang sama.

b.    Tentukan titik keseimbangan pasar (E).

c.    Hitung surplus konsumen dan surplus produsen.

6.  Diketahui fungsi permintaan dan penawaran berturut-turut P = 39 – 3Q² dan                P = 9Q + 9.

a.    Gambarlah kedua fungsi permintaan dan penawaran dalam sistem koordinat yang sama.

b.    Tentukan titik keseimbangan pasar (E).

c.    Hitung surplus konsumen dan surplus produsen.